Question

8．已知：如图，AD、BC与⊙O切于A、B，且AD∥BC，若∠COD=90°
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠BCD=60°，AB=2$\sqrt{3}$，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （1）延长CO与DA的延长线相交于F，过O作OE⊥CD于E，根据切线的性质得到OA⊥AD，OB⊥BC，由AD∥BC，得到A，O，B三点共线，∠F=∠BCO，通过△BCO≌△AFO，得到OC=OF，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到OE=OA，于是得到结论；
（2）由（1）知，CD是⊙O的切线，根据切线长定理得到BC=EC，通过△OBC≌△OEC，得到∠BCO=∠ECO=$\frac{1}{2}∠$BCD=30°，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：延长CO与DA的延长线相交于F，过O作OE⊥CD于E，
∵AD，BC是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，
∵AD∥BC，
∴A，O，B三点共线，∠F=∠BCO，
在△BCO与△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠BCO}\\{∠AOF=∠BOC}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△AFO，
∴OC=OF，
∵∠COD=90°，
∴∠DOF=90°，
∴DF=CD，
∴∠ODA=∠EDO，
∴OE=OA，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，CD是⊙O的切线，
∴BC=EC，
在△OBC与△OEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OE}\\{BC=CE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OEC，
∴∠BCO=∠ECO=$\frac{1}{2}∠$BCD=30°，
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$OB=3．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．