Question

3．如图，在正方形ABCD中，AE∥BD，DE=DB，DE交AB于点F，求证：BE=BF．

Answer 1

分析 连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G，则可知四边形AOGE是矩形，可证得EG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$BE，所以∠EBD=30°，结合条件可求得∠BED=75°，∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，故∠BEF=∠BFE，即可得到BF=BE．

解答 证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四边形AOGE是矩形，
∴EG=AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$DE，
∴∠EDB=30°，
∵∠EDB=30°，DE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BF=BE．

点评 本题主要考查正方形的性质及等腰三角形的性质的应用，解题的关键是作出辅助线求得∠EDB=30°．