Question

【题目】如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）证明：DE为⊙O的切线；

（2）若BC＝4，求DE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）连接OD，由平行线的判定定理可得OD∥AC，利用平行线的性质得∠ODE＝∠DEA＝90°，可得DE为⊙O的切线；

（2）连接CD，由BC为直径，利用圆周角定理可得∠ADC＝90°，由∠A＝30°，AC＝BC＝4，利用锐角三角函数可得DE．

（1）证明：连接OD，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠B，

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∴∠ODB＝∠A，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠DEA＝90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：连接CD，

∵BC为直径，

∴∠ADC＝90°，

∵∠A＝30°，

又∵AC＝BC＝4，

∴AD＝ACcos30°＝4×＝2，

∴DE＝AD＝．