Question

【题目】如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．

（1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)4.8cm,MN＝9.6cm．

【解析】

（1）先由切线长定理和平行线的性质可求出∠OBC+∠OCB＝90°，进而可求∠BOC＝90°，然后证明∠NMC=90°，即可证明MN是⊙O的切线；

（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，通过证明△NMC∽△BOC，即可求出MN的长.

（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB＝180°，

∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°＝90°.

∵MN∥OB，

∴∠NMC＝∠BOC＝90°，

即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，

∴MN是⊙O的切线；

（2）解：连接OF，则OF⊥BC，

由（1）知，△BOC是直角三角形，

∴BC＝＝＝10，

∵S△BOC＝OBOC＝BCOF，

∴6×8＝10×OF，

∴OF＝4.8cm，

∴⊙O的半径为4.8cm，

由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，

∴△NMC∽△BOC，

∴，即＝，

∴MN＝9.6（cm）．