Question

【题目】如图，在□ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=DE，连接AE、BF、EF．

（1）求证：△ADE≌△BCF；

（2）若∠BFC－∠ABE=90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）矩形，证明见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的性质求得AD=BC，∠ADB=∠DBC，由平行线的性质求得∠DBC=∠BCF，从而求得∠ADB=∠BCF，利用SAS定理判定三角形全等即可；

（2）先证明四边形ABFE是平行四边形，由△ADE≌△BCF，得出∠AED=∠BFC，由三角形的外角性质证出∠BAE=90°，从而判定四边形ABFE为矩形．

证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

又∵CF∥DB，

∴∠DBC=∠BCF，

∴∠ADB=∠BCF，

又∵DE=CF，

∴△ADE≌△BCF；

（2）平行四边形ABFE是矩形．

∵CF∥DE，CF=DE

∴四边形 CDEF 是平行四边形，

∴EF∥CD，EF=CD

∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD

∴AB∥EF，AB=EF

∴四边形 ABFE 是平行四边形，

∵△ADE≌△BCF，

∴∠AED=∠BFC，

又∵∠BFC－∠ABE=90°，

∴∠AED－∠ABE=90°，

∵∠AED－∠ABE=∠BAE，

∴∠BAE=90°，

∴□ABFE是矩形．