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【题目】如图,已知在ABP中,CBP边上一点,∠PAC=PBAOABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E

1)求证:PA是⊙O的切线;

2)过点CCFAD,垂足为点F,延长CFAB于点G,若AGAB=12,求AC的长;

3)在满足(2)的条件下,若AFFD=12GF=1,求⊙O的半径及sinACE的值.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)圆的半径为3 .

【解析】分析:1)根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=PBA得出∠CAD+PAC=90°进而得出答案;

2)首先得出CAG∽△BAC,进而得出,求出AC即可;

3)先求出AF的长,根据勾股定理得: ,即可得出sinADB= ,利用∠ACE=ACB=ADB,求出即可.

本题解析:1)证明:连接CD

AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90° ∴∠CAD+ADC=90°

又∵∠PAC=PBAADC=PBA∴∠PAC=ADC∴∠CAD+PAC=90° PAOA

又∵AD是⊙O的直径,∴PA是⊙O的切线。

2)由(1)知,PAAD,又∵CFADCFPA∴∠GCA=PAC

又∵∠PAC=PBA∴∠GCA=PBA

又∵∠CAG=BAC∴△CAG∽△BAC ,即AC2=AGAB

AGAB=12AC2=48AC=

3)设AF=xAFFD=12FD=2xAD=AF+FD=3x

RtACD中,∵CFADAC2=AFAD,即3x2=48

解得;x=4AF=4AD=12∴⊙O半径为6

RtAFG中,∵AF=4GF=2

∴根据勾股定理得:

由(2)知,AGAB=48

连接BDAD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°

RtABD中,∵sinADB= AD=12 sinADB=

∵∠ACE=ACB=ADBsinACE=.

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