Question

17．已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点G在BC上，连接AG，过C作CF⊥AG，垂足为点E，过点B作BF⊥CF于点F．
（1）求证：△CBF≌△ACE；
（2）若点D是AB的中点，连接DE、DF，求证：DE=DF．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义和等角的余角相等以及全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和判定证明即可．

解答 （1）证明：如图，因为AE⊥CF，BF⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠1﹢∠3=∠2﹢∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△CBF与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AEC=∠CFB=90°}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△ACE（AAS）；
（2）证明：连接CD，
∵△ACE≌△CBF，
∴CE=BF，
∵等腰RT△ABC中，点D是AB的中点，
∴CD=BD，
∵CD⊥BD，
∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△DCE与△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BF}\\{∠DCE=∠DBF}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DBF（SAS），
∴DE=DF．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据垂直的定义和等角的余角相等以及全等三角形的判定证明．