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【题目】已知OAOB=4,∠AOB=60°,半A的半径为1,点C是半圆上任意一点,连结OC,把OC绕点O顺时针旋转6

0°到OD的位置,连结BD

(1)如图1,求证:ACBD

(2)如图2,当OC与半圆相切于点C时,求CD的长.

(3)直接写出△AOC面积的最大值.

【答案】(1)详见解析;(2);(3)2.

【解析】

(1)根据已知条件易证OAC≌△DOB由全等三角形的性质即可得ACBD;(2)根据勾股定理求得OC的长,再证明COD是等边三角形,根据等边三角形的性质即可得CD的长;(3)当h最大时,SAOC最大,即当C在半圆A的中点时,h最大,此时h=1,计算面积可得结论.

证明:(1)∵∠AOBCOD=60°

∴∠COA+AODBOD+AOD

∴∠COABOD

OACOBD中,

∴△OAC≌△DOBSAS

ACBD

(2)如图2,OC是⊙A的切线,

ACOCOCA=90°,

RtOCA中,由勾股定理得:OC2+AC2OA2

OC2+12=42

OC

COD中,∵OCODCOD=60°,

∴△COD是等边三角形,

CDOC

(3)设点COA的距离为h

SAOCOAh

OA=4,

∴当h最大时,SAOC最大,即当C在半圆A的中点时,h最大,此时h=1,

SAOCOAh=2.

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