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【题目】如图甲,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PBPC=1,求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.

解题思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,如图乙所示,连接PP′.

(1)△PPB 三角形,△PPA 三角形,∠BPC °;

(2)利用△BPC可以求出△ABC的边长为

如图丙,在正方形ABCD内有一点P,且PABPPC=1;

(3)求∠BPC度数的大小;

(4)求正方形ABCD的边长.

【答案】1)等边 直角 150°;(2;(3135°;(4 .

【解析】

1)将BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP,可得PPB是等边三角形,而PPA又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠APB150°,而∠BPC=∠APB150°

2)过点BBMAP,交AP的延长线于点M,进而求出等边ABC的边长为 ,问题得到解决.

3)求出,根据勾股定理的逆定理求出∠APP90°,推出∠BPC=∠AEB90°+45°135°

4)过点BBFAE,交AE的延长线于点F,求出FEBF1AF2,关键勾股定理即可求出AB

解:(1)∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC60°

BPC绕点B顺时针旋转60°得出ABP

∵∠PBC+ABP=∠ABC60°

∴∠ABP′+ABP=∠ABC60°

∴△BPP是等边三角形,

AP1AP2

AP2+PP2AP2

∴∠APP90°,则PPA 直角三角形;

∴∠BPC=∠APB90°+60°150°

2)过点BBMAP,交AP的延长线于点M

由勾股定理得:

由勾股定理得:

故答案为:(1)等边;直角;150

3)将BPC绕点B逆时针旋转90°得到AEB

与(1)类似:可得:AE=PC=1BE=BP=,∠BPC=AEB,∠ABE=PBC

∴∠EBP=∠EBA+ABP=∠ABC90°

由勾股定理得:EP2

AE2+PE2AP2

∴∠AEP90°

∴∠BPC=∠AEB90°+45°135°

4)过点BBFAE,交AE的延长线于点F

∴∠FEB45°

FEBF1

AF2

∴在RtABF中,由勾股定理,得AB

∴∠BPC135°,正方形边长为

答:(3)∠BPC的度数是135°

4)正方形ABCD的边长是

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