Question

20．已知AB=AC=BD=k•BE．∠BAC=2∠BED，∠DBE=90°，点O为CE的中点连接AO：
（1）如图1，C，D，E在一条直线上，k=1，
①求∠BDE的度数；
②线段AO，CD有怎样的数量关系；
（2）如图2，将△BED绕点B旋转，其他条件不变，求$\frac{CD}{AO}$的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质和已知条件求出∠BDE的度数；
②延长CA至M，使AM=AC，连接BM、EM，证明△EBM≌△DBC，得到CD=EM，根据三角形中位线定理证明AO=$\frac{1}{2}$EM，得到答案；
（2）延长CA至G，使AG=AC，连接BG、EG，证明△GBC∽△EBD和△GBE∽△CBD，根据相似三角形的性质得到答案．

解答 解：（1）①∵BD=k•BE，k=1，
∴BD=BE，
又∵∠DBE=90°，
∴∠BDE=45°；
②如图1，延长CA至M，使AM=AC，连接BM、EM，
∵∠BAC=2∠BED，
∴∠BAC=90°，又AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵AM=AC，AB=AC，
∴∠MBC=90°，
∴BM=BC，
∵∠DBE=90°，∠MBC=90°，
∴∠EBM=∠DBC，
在△EBM和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠EBM=∠DBC}\\{BM=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△DBC，
∴CD=EM，
∵点O为CE的中点，AM=AC，
∴AO=$\frac{1}{2}$EM，
∴AO=$\frac{1}{2}$CD；
（2）CD=2k•OA．
如图2，延长CA至G，使AG=AC，连接BG、EG，
∵AG=AC，AB=AC，
∴∠GBC=90°，
又∵∠DBE=90°，
∴∠EBG=∠DBC，
∵AG=AB，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠BAC=2∠ABG，又∠BAC=2∠BED，
∴∠ABG=∠BED，又∠GBC=∠DBE=90°，
∴△GBC∽△EBD，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，又∠ABG=∠AGB，
∴△GBE∽△CBD，
∴$\frac{CD}{GE}$=$\frac{BD}{BE}$=k，
∴CD=k•GE，
∵EO=OC，GA=AC，
∴GE=2OA，
∴CD=2k•OA．

点评 本题考查的是相似三角形、全等三角形的知识的综合运用，掌握全等三角形的判定定理、性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线，构造相似三角形．