Question

【题目】如图，在直角三角形中，，，．动点从点出发，沿线段向终点以的速度运动，同时动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，以，为邻边作平行四边形．设平行四边形与直角三角形重叠部分图形的面积为，点运动的时间为．

（1）当点落在线段上时，求的值；

（2）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当四边形为矩形时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；；（3）

【解析】

（1）当点E落在线段BC上时，PQ∥BC，得出△APQ∽△ABC，得出

，由勾股定理得出AC= =10cm，代入计算得出t=；
（2）分情况讨论：①当0＜t≤时，作PG⊥AC于G，证明△APG∽△ACB，得出，求出PG=t，重叠部分图形的面积S=平行四边形PECQ的面积，即可得出结果；
②当＜t≤5时，作PG⊥AC于G，CF⊥PE于F，则CF=PG，同①得CF=PG=t，PH=10-t，得出EH=PE-PH=t-10，得出重叠部分图形的面积S=平行四边形PECQ的面积-△CEH的面积，即可得出结果；
③当5＜t≤6时，Q到达A点停止不动，CE=AP=t，作PG⊥AC于G，同①得：PG=t，BH=t，得出CH=BC-BH=t，重叠部分图形的面积为S=平行四边形PECQ的面积-△CEH的面积，即可得出结果；
（3）当四边形PECQ为矩形时，∠PQC=90°，证出△APQ∽△ACB，得出，即可得出结果．

解：（1）当点落在线段上时，，

，

，

，，，

，

，

解得：；

（2）分情况讨论：①当时，作于，如图1所示：

图1

则，

，

，

，即，

解得：，

∴重叠部分图形的面积平行四边形的面积，

即；

②当时，如图2所示：

图2

作于，于，

则，

同①得：，，

，

∴重叠部分图形的面积平行四边形的面积的面积

，

即；

③当时，到达点停止不动，如图3所示：

图3

，作于，

同①得：，，

，

∴重叠部分图形的面积为平行四边形的面积的面积

，

即；

（3）当四边形为矩形时，，

，

，

，

，即，

解得：．