【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E,垂足为点F.
(1)证明:DE是⊙O的切线;
(2)若BE=4,∠E=30°,求由、线段BE和线段DE所围成图形(阴影部分)的面积,
(3)若⊙O的半径r=5,sinA=,求线段EF的长.
【答案】(1)见解析 (2)8(3)
【解析】分析:(1)连接BD、OD,由AB=BC及∠ADB=90°知AD=CD,根据AO=OB知OD是△ABC的中位线,据此知OD∥BC,结合DE⊥BC即可得证;
(2)设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,在Rt△ODE中由sinE=求得x的值,再根据S阴影=S△ODE-S扇形ODB计算可得答案.
(3)先证Rt△DFB∽Rt△DCB得,据此求得BF的长,再证△EFB∽△EDO得,据此求得EB的长,继而由勾股定理可得答案.
详解:(1)如图,连接BD、OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=90°,
∵BA=BC,
∴AD=CD,
又∵AO=OB,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,
在Rt△ODE中,OE=4+x,∠E=30°,
∴,
解得:x=4,
∴DE=4,S△ODE=×4×4=8,
S扇形ODB=,
则S阴影=S△ODE-S扇形ODB=8-;
(3)在Rt△ABD中,BD=ABsinA=10×=2,
∵DE⊥BC,
∴Rt△DFB∽Rt△DCB,
∴,即,
∴BF=2,
∵OD∥BC,
∴△EFB∽△EDO,
∴,即,
∴EB=,
∴EF=.
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【题目】是一块锐角三角形材料,边,高,要把它加工成矩形零件EFHG,使矩形的一边GH在BC上,其余两个顶点E、F在AB、AC上,
求证:EF::AD;
设,,用含x的代数式表示y;
设矩形EFHG的面积是S,求S与x的函数关系式,并求当x为何值时S取得最大值,最大值为多少?
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【题目】某公司招聘人才,对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试,其中甲、乙两人的成绩如表(单位:分):
项目人员 | 阅读能力 | 思维能力 | 表达能力 |
甲 | 93 | 86 | 73 |
乙 | 95 | 81 | 79 |
(1)若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人,那么谁将能被录用?
(2)根据实际需要,公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3:5:2的比确定每人的最后成绩,若按此成绩在甲、乙两人中录用一人,谁将被录用?
(3)公司按照(2)中的成绩计算方法,将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图(每组分数段均包含左端数值,不包含右端数值,如最右边一组分数x为:85≤x<90),并决定由高分到低分录用8名员工,甲、乙两人能否被录用?请说明理由,并求出本次招聘人才的录用率.
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【题目】如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点C落在点F处,DF交AB于点E.
(1)求证:;
(2)判断AF与BD是否平行,并说明理由.
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【题目】为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况,随机抽查了部分参赛学生的成绩,整理并制作出如下的统计表和统计图,如图所示.请根据图表信息解答下列问题:
组别 | 分数段(分) | 频数 | 频率 |
A组 | 60≤x<70 | 30 | 0.1 |
B组 | 70≤x<80 | 90 | n |
C组 | 80≤x<90 | m | 0.4 |
D组 | 90≤x<100 | 60 | 0.2 |
(1)在表中:m= ,n= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)4个小组每组推荐1人,然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼,恰好抽中A、C两组学生的概率是多少?并列表或画树状图说明.
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【题目】已知:如图,两点在数轴上,点对应的数为-15,,两点分别从点点同时出发,沿数轴正方向匀速运动,速度分别为每秒3个单位长度和每秒2个单位长度.
(1)数轴上点对应的数是
(2)经过多少秒时,两点分别到原点的距离相等?
(3)当两点分别到点的距离相等时,在数轴上点对应的数是
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【题目】在2019年春季环境整治活动中,某社区计划对面积为的区域进行绿化.经投标,由甲、乙两个工程队来完成,若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,并且在独立完成面积为区域的绿化时,甲队比乙队少用5天.
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积;
(2)设甲工程队施工天,乙工程队施工天,刚好完成绿化任务,求关于的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若甲队每天绿化费用是0.6万元,乙队每天绿化费用为0.25万元,且甲乙两队施工的总天数不超过25天,则如何安排甲乙两队施工的天数,使施工总费用最低?并求出最低费用.
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【题目】如图,已知AD∥BC,∠A=∠C=50°,线段AD上从左到右依次有两点E、F(不与A、D重合)
(1)AB与CD是什么位置关系,并说明理由;
(2)观察比较∠1、∠2、∠3的大小,并说明你的结论的正确性;
(3)若∠FBD:∠CBD=1:4,BE平分∠ABF,且∠1=∠BDC,求∠FBD的度数,判断BE与AD是何种位置关系?
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【题目】在甲村至乙村间有一条公路,在C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图所示,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问:在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?请用你学过的知识加以解答.
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