Question

【题目】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证：；

（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据折叠的性质可证∠CDB =∠EDB，由平行四边形的性质，可证∠CDB =∠EBD，等量代换可证得结论；

（2）根据（1）结论可知DE=BE，然后由平行四边形的对边相等和等量代换，可知AE=EF，从而根据等边对等角可得∠EAF=∠EFA，再由三角形的内角和得出∠EDB= ∠EFA，因此可证得AF∥BD（或由AB与BD互相平分证得四边形ADBF是平行四边形）.

（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB

∵四边形ABCD是平行四边形

∴DC∥AB

∴∠CDB =∠EBD

∴∠EDB=∠EBD

（2）∵∠EDB=∠EBD

∴DE=BE

由折叠可知：DC=DF

∵四边形ABCD是平行四边形

∴DC=AB

∴AE=EF

∴∠EAF=∠EFA

△BED中,∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°

即2∠EDB+∠DEB=180°

同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°

∵∠DEB=∠AEF

∴∠EDB= ∠EFA

∴AF∥BD