Question

【题目】已知，数轴上有两点A、B对应的数分别为1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．

（1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值．

（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由．

（3）点A、B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？

Answer 1

【答案】（1）1，5，2；（2）存在，最小值为6，x可以取的整数值有1、0、1、2、3、4、5；（3）48

【解析】

（1）根据数轴上的两点距离公式和中点公式列式求解即可；

（2）分类讨论点P分别在点A左侧、点A、点B之间、点B右侧时分别求出，进行比较即可求出最小值；

（3）设经过t分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多6，列出方程，求出t的值，即为点P的运动时间，再乘以点P运动的速度，即可得点P所经过的总路程．

解：（1）∵点A、B对应的数分别为1，5，

∴，即点A、B的距离为6；

∵点P到点A、B的距离相等，则P为AB中点，

则有：，所以；

（2）数轴上存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小，

当点P在点A左侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PA+AB=2PA+6，

当点P在点A、点B之间时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=AB=6，

当点P在点B右侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PB+AB=2PA+6，

所以当点P在点A、点B之间时（含点A、点B），点P到点A、B的距离之和最小，最小值为6，

点A、点B之间的整数值有1、0、1、2、3、4、5，即为x可以取的整数值；

（3）设经过t分钟点A与点B重合，依题意得：

1+3t=5+2t+6，解得：t=12，

所以4t=4×12=48，

所以点P所经过的总路程是48个单位长度．