【题目】如图,已知抛物线y=ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(9,10),AC∥x轴.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)求tan∠ABC的值.
(3)若点D为抛物线的顶点,点E是直线AC上一点,当△CDE与△ABC相似时,求点E的坐标.
【答案】(1);(2);(3)E(4,1)或E(﹣3,1).
【解析】
(1)将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得a、c的值即可;
(2)过点B作BH⊥AC交AC延长线于点H,过点C作CG⊥AB于点G,先证明△ABH和△ACG均为等腰直角三角形,再求出CG和BG的长,然后依据锐角三角函数的定义求解即可;
(3)过点D作DK⊥AC,垂足为K,先证明△DCK为等腰直角三角形,则∠DCK=∠BAC,当或时,△CDE与△ABC相似,然后可求得CE的长.
解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2x+c经过点A(0,1)和点B(9,10),
∴,解得.
∴这条抛物线的解析式为.
(2)过点B作BH⊥AC交AC延长线于点H,
∵AC∥x轴,A(0,1),B(9,10),∴H(9,1),∴BH=AH=9.
又∵∠BHA=90°,∴△HAB是等腰直角三角形,∴∠HAB=45°.
∵AC∥x轴,A(0,1),对称轴为直线,∴C(6,1).
过点C作CG⊥AB,垂足为点G,
∵∠GAC=45°,∠AGC=90°,∴,∴.
又∵在Rt△ABH中,,∴.
∴在Rt△BCG中,.
(3)如图2所示:过点D作DK⊥AC,垂足为K,
∵点D是抛物线的顶点,∴D(3,﹣2).
∴K(3,1),∴CK=DK=3.
又∵∠CKD=90°,∴△CDK是等腰直角三角形,∴∠DCK=45°
又∵∠BAC=45°,
∴∠DCK=∠BAC.
∴要使△CDE与△ABC相似,则点E在点C的左侧.
当时,则,∴EC=2,∴E(4,1);
当时,则,∴EC=9,∴E(﹣3,1).
综上所述,当△CDE与△ABC相似时,点E的坐标为(4,1)或(﹣3,1).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知,梯形中,,,∥,,,点在边上,以点为圆心为半径作弧交边于点,射线与射线交于点.
(1)若,求的长;
(2)联结,若,求的长;
(3)线段上是否存在点,使得△与△相似,若相似,求的值,若不相似,请说明理由
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,设O为坐标原点.
(1)求∠ABO的正切值;
(2)如果点A向左平移12个单位到点C,直线l过点C且与直线平行,求直线l的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:以O为圆心的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为上一动点,射线AC交射线OB于点D,过点D作OD的垂线交射线OC于点E,联结AE.
(1)如图1,当四边形AODE为矩形时,求∠ADO的度数;
(2)当扇形的半径长为5,且AC=6时,求线段DE的长;
(3)联结BC,试问:在点C运动的过程中,∠BCD的大小是否确定?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点O是边BC上的动点,以点O为圆心,OB为半径作圆O,交AB边于点D,过点D作∠ODP=∠B,交边AC于点P,交圆O与点E.设OB=x.
(1)当点P与点C重合时,求PD的长;
(2)设AP﹣EP=y,求y关于x的解析式及定义域;
(3)联结OP,当OP⊥OD时,试判断以点P为圆心,PC为半径的圆P与圆O的位置关系.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4,点P为线段BE延长线上一点,连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F.
(1)求证:;
(2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由;
(3)若PE=1,求△PBD的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,由正比例函数沿轴的正方向平移4个单位而成的一次函数
的图像与反比例函数()在第一象限的图像交于A(1,n)和B两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△ABO的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直角三角形中,,,.动点从点出发,沿线段向终点以的速度运动,同时动点从点出发沿线段以的速度向终点运动,以,为邻边作平行四边形.设平行四边形与直角三角形重叠部分图形的面积为,点运动的时间为.
(1)当点落在线段上时,求的值;
(2)求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)当四边形为矩形时,直接写出的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com