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【题目】如图,已知抛物线yax22x+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(01),点B(910)ACx轴.

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)tanABC的值.

(3)若点D为抛物线的顶点,点E是直线AC上一点,当△CDE与△ABC相似时,求点E的坐标.

【答案】(1)(2)(3)E(41)E(31)

【解析】

(1)将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得ac的值即可;

(2)过点BBHACAC延长线于点H,过点CCGAB于点G,先证明ABHACG均为等腰直角三角形,再求出CGBG的长,然后依据锐角三角函数的定义求解即可;

(3)过点DDKAC,垂足为K,先证明△DCK为等腰直角三角形,则∠DCK=∠BAC,当时,△CDE与△ABC相似,然后可求得CE的长.

解:(1)∵抛物线yax22x+c经过点A(01)和点B(910)

,解得

∴这条抛物线的解析式为

(2)过点BBHACAC延长线于点H

ACx轴,A(01)B(910),∴H(91),∴BHAH9

又∵∠BHA90°,∴△HAB是等腰直角三角形,∴∠HAB45°

ACx轴,A(01),对称轴为直线,∴C(61).

过点CCGAB,垂足为点G

∵∠GAC45°,∠AGC90°,∴,∴

又∵在RtABH中,,∴

∴在RtBCG中,

(3)如图2所示:过点DDKAC,垂足为K

∵点D是抛物线的顶点,∴D(3,﹣2)

K(31),∴CKDK3

又∵∠CKD90°,∴△CDK是等腰直角三角形,∴∠DCK45°

又∵∠BAC45°

∴∠DCK=∠BAC

∴要使△CDE与△ABC相似,则点E在点C的左侧.

时,则,∴EC2,∴E(41)

时,则,∴EC9,∴E(31)

综上所述,当△CDE与△ABC相似时,点E的坐标为(41)(31)

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