Question

【题目】如图，为的直径，弦，相交于点，且于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若的半径为5，点是的中点，，写出求线段长的思路．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）求解思路见解析.

【解析】

（1）连接OC，根据切线定理可知，根据得到，利用同圆半径相等得到，进而得到，再利用对顶角以及等量代换即可完成.

（2）思路一：①过圆心且点是的中点，由垂径定理可得，；

②由与互余，与互余可得，从而可知；

③在中，由，可设，，由勾股定

理，得，可解得的值；

④由，可求的长．

思路二：连接，如图3．

①由是的直径，可得是直角三角形，知与互余，

又可知与互余，得；

②由，，可得，从而可知；

③在中，由，可设，

由勾股定理，得，可解得的值；

④由，可求的长．

（1）证明：连接，如图1．

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴．

（2）求解思路如下：

思路一：连接，如图2．

①过圆心且点是的中点，由垂径定理可得，；

②由与互余，与互余可得，从而可知；

③在中，由，可设，，由勾股定理，得，可解得的值；

④由，可求的长．

思路二：连接，如图3．

①由是的直径，可得是直角三角形，知与互余，

又可知与互余，得；

②由，，可得，从而可知；

③在中，由，可设，

由勾股定理，得，可解得的值；

④由，可求的长．