Question

【题目】如图，若抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，连接．

①线段是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点运动的过程中，是否存在点，恰好使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①PM最大为；②P点的坐标为（2，-3）或（，）．

【解析】

（1）通过求出B、C坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）①设点H的坐标为(m，0) ，则 ，，从而可以用m表示出PM的长，即可求出PM的最大值；

②PM为腰的等腰三角形有一条边需和PM相等，分两种情况讨论．

解：（1）在上，令，解得，

令，解得，

∴B（3，0），C（0，-3），

将B（3，0），C（0，-3）代入，

，

解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）①设点H的坐标为(m，0)，则 ，，

∴，

当时，PM取最大值，此时，

∴PM最大为；

②∵B（3，0），C（0，-3），

∴OB=OC=3，即△OBC为等腰直角三角形，

易得△BHM为等腰直角三角形，

若PM=PC，则∠PCM=∠PMC=45°，∠CPM=90°，

∵轴，

∴轴，

此时P点纵坐标为-3，

在中当y=-3时，解得x=0或x=2，

∴P（2，-3），

若PM=MC，

易得CM=OH=，

∴，

解得m=0（舍）或m=，

∴P（，），

综上所述，P点的坐标为（2，-3）或（，）．