Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A(m，n)（m＞0）在双曲线y＝上．

（1）如图1，m＝1，∠AOB＝45°，点B正好在y＝（x＞0）上，求B点坐标；

（2）如图2，线段OA绕O点旋转至OC，且C点正好落在y＝上，C(a，b)，试求m与a的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）B(，)；（2）或，

【解析】

(1)作出辅助线如图，证得Rt△FAORt△DAG，求得点G的坐标为(5，3)，继而求得直线OG的解析式，从而求得点B的坐标；

(2)由题意得A(m，)，C(a，)，OA2=OC2，计算整理得(m2-a2)(1-)=0，即可求解．

(1)∵点A(m，n)在双曲线y=上，且m=1，

∴，

∴点A的坐标为(1，4)，

作AG⊥OA交直线OB于点G，作GE⊥y轴于E，作AF⊥y轴于F，作AD⊥轴交GE于点D，如图所示：

∵点A的坐标为(1，4)，

∴FA=1，FO=4，

∵AG⊥OA，∠AOB=45°，

∴△AOG为等腰直角三角形，

∴AO=AG，

∵∠FAO+∠OAD=∠DAG+∠OAD=90°，

∴∠FAO=∠DAG，

∴Rt△FAORt△DAG，

∴FO= DG=4，FA=DA=1，

∵GE⊥y轴， AF⊥y轴，AD⊥轴，FA=DA=1，

∴四边形ADEF为正方形，

∴FA=DA= DE=EF=1，

∴GE=DE+DG=5，EO=FO-EF=3，

∴点G的坐标为(5，3)，

设直线OG的解析式为，

把点G的坐标为(5，3)代入得：，

∴直线OG的解析式为，

解方程组，

得：(负值已舍)，

∴点B的坐标为(，)；

(2)根据题意：A(m，)，C(a，)，

∵OA2=OC2，

∴m2+=2+，

整理得：(m2-a2)(1-)=0，()()()()=0，

∵，

∴或，．