【题目】如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4,点P为线段BE延长线上一点,连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F.
(1)求证:;
(2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由;
(3)若PE=1,求△PBD的面积.
【答案】(1)见解析;(2) AC∥BD,理由见解析;(3)
【解析】
(1)直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP,进而得出答案;
(2)首先得出△PCE∽△DCB,进而求出∠ACB=∠CBD,即可得出AC与BD的位置关系;
(3)首先利用相似三角形的性质表示出BD,PM的长,进而根据三角形的面积公式得到△PBD的面积.
(1)证明:∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形,
∴∠ECB=∠PCD=45°,∠CEB=∠CPD=90°,
∴△BCE∽△DCP,
∴;
(2)解:结论:AC∥BD,
理由:∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°,
∴∠PCE=∠BCD,
又∵,
∴△PCE∽△DCB,
∴∠CBD=∠CEP=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CBD,
∴AC∥BD;
(3)解:如图所示:作PM⊥BD于M,
∵AC=4,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,
∴BE=CE=4,
∵△PCE∽△DCB,
∴,即,
∴BD=,
∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45°,BP=BE+PE=4+1=5,
∴PM=5sin45°=
∴△PBD的面积S=BDPM=××=.
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【题目】如图,是直角三角形,.
(1)动手操作:利用尺规作的平分线,交于点,再以为圆心,的长为半径作(保留作图痕迹,不写作法);
(2)综合运用:请根据所作的图,
①判断与的位置关系,并证明你的结论;
②若,,求的长.
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【题目】下列说法中,正确的是( )
A.一组数据﹣2,﹣1,0,1,1,2的中位数是0
B.质检部门要了解一批灯泡的使用寿命,应当采用普查的调查方式
C.购买一张福利彩票中奖是一个确定事件
D.分别写有三个数字﹣1,﹣2,4的三张卡片(卡片的大小形状都相同),从中任意抽取两张,则卡片上的两数之积为正数的概率为
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【题目】如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于点O,AB⊥AC,AD=CD,AB=3,BC=5.求:
(1)tan∠ACD的值;
(2)梯形ABCD的面积.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(9,10),AC∥x轴.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)求tan∠ABC的值.
(3)若点D为抛物线的顶点,点E是直线AC上一点,当△CDE与△ABC相似时,求点E的坐标.
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【题目】如图,E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点,且AE=AF,联接EF,将△AEF绕点A逆时针旋转45°,使E落在E,F落在F,联接BE并延长交DF于点G,如果AB=,AE=1,则DG=______.
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【题目】在数学课上,老师布置了一项作图任务,如下:
已知:如图1,在中,,请在图中的内(含边),画出使的一个点(保留作图痕迹),小红经过思考后,利用如下的步骤找到了点:
(1)以为直径,作,如图2;
(2)过点作的垂线,交于点;
(3)以点为圆心,为半径作,分别交、边于、,在劣弧上任取一点即为所求点,如图3,说出此种作法的依据 _______________.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,若点P和点关于y轴对称,点和点关于直线l对称,则称点是点P关于y轴,直线l的二次对称点.
如图1,点.
若点B是点A关于y轴,直线:的二次对称点,则点B的坐标为______;
若点是点A关于y轴,直线:的二次对称点,则a的值为______;
若点是点A关于y轴,直线的二次对称点,则直线的表达式为______;
如图2,的半径为若上存在点M,使得点是点M关于y轴,直线:的二次对称点,且点在射线上,b的取值范围是______;
是x轴上的动点,的半径为2,若上存在点N,使得点是点N关于y轴,直线:的二次对称点,且点在y轴上,求t的取值范围.
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