Question

8．如图，在四边形中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5，AD=$\sqrt{61}$．求：
（1）AC的长；
（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得出∠AED=∠AEC=90°，由勾股定理求出AE，得出CE，再由勾股定理求出AC即可；
（2）由勾股定理求出AB，再求出CD，四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，即可得出结果．

解答 解：（1）∵AE⊥CD，
∴∠AED=∠AEC=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{61-25}$=6，
∴CE=AE=6，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$；
（2）∵∠B=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{14}$，
∵CD=CE+DE=6+5=11，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=$\frac{1}{2}$AB×BC+$\frac{1}{2}$CD×AE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{14}$×4+$\frac{1}{2}$×11×6=4$\sqrt{14}$+33．

点评 本题考查了勾股定理的综合运用以及三角形面积的计算；由勾股定理求出AE、AC、AB是解决问题的关键．