[题目]如图.在△ABC中.AB的垂直平分线分别交AB.BC于点D.E.∠B=30°,∠BAC=80°,且BC+AC=12cm.①求∠CAE的度数,②求△AEC的周长. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°,∠BAC=80°,且BC+AC=12cm，①求∠CAE的度数；②求△AEC的周长。

【答案】①50°；②12cm.

【解析】

①依据AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，即可得出BE=AE，进而得到∠BAE=∠B=30°，再根据∠CAE=∠BAC-∠BAE进行计算即可;

②根据BE=AE，利用BC+AC=12cm，即可求出△AEC的周长.

解：①∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE=AE，
∴∠BAE=∠B=30°，
又∵∠BAC=80°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=80°-30°=50°，

②由①得BE=AE，

∴△AEC的周长= AE+EC+AC =BE+EC+AC =BC+AC=12cm

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（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC=1,求线段DC的长；

（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点.若，直接写出长的取值范围.（用含的式子表示）

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③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明。

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