【题目】如图,C 为线段 AE 上一动点(不与 A、E 重合),在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连接 PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°,其中正确的结论是(把你认为正确的结论的序号都填上).
【答案】①②③⑤
【解析】①∵△ABC 、△CDE均为等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,
又∵∠ACD=∠ACB+BCD,∠BCE=∠ECD+∠DCB,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,
故①正确.
②由①知△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE,
又∵∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠BCQ=180°-∠ACB-∠ECD=60°,
即∠BCQ=∠ACB,
在△ACP和△BCQ中,
∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴CP=CQ,
又∵∠PCQ=60°,
∴△PCQ为等边三角形,
∴∠PQC=∠DCE=60°,
∴PQ∥AE,
故②正确.
③由②知△ACP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
故③正确.
④由②知∠PCQ=∠CPQ=60°,
∴∠DPC60°,
∴DP≠DC,
又∵DC=DE,
∴DP≠DE,
故④错误.
⑤∵△ABC 、△CDE均为等边三角形,
∴∠ACB=∠ECD=60°,∠ACB=∠EDC=60°,
由②知∠BCD=60°,
∴∠DCB=∠EDC=60°,
∴BC∥DE,
∴∠DEO=∠CBE,
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,
故⑤正确.
所以答案是:①②③⑤.
综上所述:正确的结论为①②③⑤.
【考点精析】本题主要考查了平行线的判定与性质的相关知识点,需要掌握由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列说法,其中正确的是( )
A. 两条直线被第三条直线所截,同位角相等;
B. 平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;
C. 相等的两个角是对顶角;
D. 从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,因为AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,所以AB和BC重合,其理由是( )
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.过一点能作一条垂线
D.垂线段最短
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