Question

【题目】如图，C 为线段 AE 上一动点（不与 A、E 重合），在 AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°，其中正确的结论是（把你认为正确的结论的序号都填上）．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】①∵△ABC 、△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACD=∠ACB+BCD，∠BCE=∠ECD+∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
故①正确.
②由①知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCQ=180°-∠ACB-∠ECD=60°，
即∠BCQ=∠ACB，
在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
故②正确.

③由②知△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
故③正确.
④由②知∠PCQ=∠CPQ=60°，
∴∠DPC60°，
∴DP≠DC，
又∵DC=DE，
∴DP≠DE，
故④错误.
⑤∵△ABC 、△CDE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，∠ACB=∠EDC=60°，
由②知∠BCD=60°，
∴∠DCB=∠EDC=60°，
∴BC∥DE，
∴∠DEO=∠CBE，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故⑤正确.
所以答案是：①②③⑤.
综上所述：正确的结论为①②③⑤.
【考点精析】本题主要考查了平行线的判定与性质的相关知识点，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能正确解答此题．