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【题目】我们定义:如图1,在ABC看,把ABA顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称A'B'C'ABC旋补三角形”,AB'C'B'C'上的中线AD叫做ABC旋补中线,点A叫做旋补中心”.

特例感知:

(1)在图2,图3中,AB'C'ABC旋补三角形”,ADABC旋补中线”.

①如图2,当ABC为等边三角形时,ADBC的数量关系为AD=   BC;

②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为   

猜想论证:

(2)在图1中,当ABC为任意三角形时,猜想ADBC的数量关系,并给予证明.

【答案】(1)①;4;(2) AD=BC.

【解析】试题分析:(1)①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形,可得AD=AB′即可解决问题;②首先证明△BAC≌△B′AC′,根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题;
(2)如图1中,延长AD到Q,使得AD=DQ,连接B′Q,C′Q,根据∠QB′A=∠BAC,QB′=AC′=AC,AB′=AB,即可得到△AQB′≌△BAC,即可解决问题.

试题解析:

解:(1)①如图2,当ABC为等边三角形时,ADBC的数量关系为AD=BC;

理由:∵△ABC是等边三角形,

AB=BC=AC=AB′=AC′,

DB′=DC′,

ADB′C′,

∵∠BAC=60°,BAC+B′AC′=180°,

∴∠B′AC′=120°,

∴∠B′=C′=30°,

AD=AB′=BC,

故答案为

②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为4.

理由:∵∠BAC=90°,BAC+B′AC′=180°,

∴∠B′AC′=BAC=90°,

AB=AB′,AC=AC′,

∴△BAC≌△B′AC′,

BC=B′C′,

B′D=DC′,

AD=B′C′=BC=4,

故答案为4.

(2)猜想AD=BC

证明:如图,延长AD至点Q,则DQB'≌△DAC',

QB'=AC',QB'AC',

∴∠QB'A+B'AC'=180°,

∵∠BAC+B'AC'=180°,

∴∠QB'A=BAC,

又由题意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,

∴△AQB'≌△BCA,

AQ=BC=2AD,

即AD=BC

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型号

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30

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20

300

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