【题目】我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 .
猜想论证:
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
【答案】(1)①;②4;(2) AD=BC.
【解析】试题分析:(1)①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形,可得AD=AB′即可解决问题;②首先证明△BAC≌△B′AC′,根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题;
(2)如图1中,延长AD到Q,使得AD=DQ,连接B′Q,C′Q,根据∠QB′A=∠BAC,QB′=AC′=AC,AB′=AB,即可得到△AQB′≌△BAC,即可解决问题.
试题解析:
解:(1)①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;
理由:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=AB′=AC′,
∵DB′=DC′,
∴AD⊥B′C′,
∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=120°,
∴∠B′=∠C′=30°,
∴AD=AB′=BC,
故答案为.
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为4.
理由:∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=∠BAC=90°,
∵AB=AB′,AC=AC′,
∴△BAC≌△B′AC′,
∴BC=B′C′,
∵B′D=DC′,
∴AD=B′C′=BC=4,
故答案为4.
(2)猜想AD=BC.
证明:如图,延长AD至点Q,则△DQB'≌△DAC',
∴QB'=AC',QB'∥AC',
∴∠QB'A+∠B'AC'=180°,
∵∠BAC+∠B'AC'=180°,
∴∠QB'A=∠BAC,
又由题意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,
∴△AQB'≌△BCA,
∴AQ=BC=2AD,
即AD=BC.
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【题目】将一列有理数-1,2,-3,4,-5,6,……,如图所示有序排列.根据图中的排列规律可知,“峰1” 中峰顶的位置(C的位置)是有理数4,那么,“峰5”中C 的位置是有理数 ,2017应排在A、E中 的位置.其中两个填空依次为
A.24 , AB.﹣24, AC.25, ED.﹣25, E
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【题目】某学校计划组织全校1500名师生外出参加集体活动.经过研究,决定租用当地租车公司一共60辆、两种型号客车作为交通工具.
下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息:
型号 | 载客量 | 租金单价 |
30人辆 | 400元辆 | |
20人辆 | 300元辆 |
注:载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数.
学校租用型号客车辆,租车总费用为元.
(1)求与的函数解析式,请直接写出的取值范围;
(2)若要使租车总费用不超过22000元,一共有几种租车方案?并结合函数性质说明哪种租车方案最省钱?
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【题目】如图所示,小王在校园上的A处正面观测一座教学楼墙上的大型标牌,测得标牌下端D处的仰角为30°,然后他正对大楼方向前进5m到达B处,又测得该标牌上端C处的仰角为45°.若该楼高为16.65m,小王的眼睛离地面1.65m,大型标牌的上端与楼房的顶端平齐.求此标牌上端与下端之间的距离(≈1.732,结果精确到0.1m).
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【题目】如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是( )
A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形
B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形
D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形
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【题目】某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时,每星期可卖出300件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下,解答下列问题:
(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元,请写出y与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,点A是反比例函数y1=(x>0)图象上的任意一点,过点A作 AB∥x轴,交另一个比例函数y2=(k<0,x<0)的图象于点B.
(1)若S△AOB的面积等于3,则k是=_____;
(2)当k=﹣8时,若点A的横坐标是1,求∠AOB的度数;
(3)若不论点A在何处,反比例函数y2=(k<0,x<0)图象上总存在一点D,使得四边形AOBD为平行四边形,求k的值.
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【题目】综合实践
问题情景:某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究:
⑴若准备制作一个无盖的正方体形纸盒,如图1,下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒?
⑵如图2是小明的设计图,把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字?
⑶如图3,有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单,小华准备将其四角各剪去一个小正方形,折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图,用实线表示剪切线,虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形,用含x的代数式表示这个纸盒的高为 cm,底面积为 cm2,当小正方形边长为4cm时,纸盒的容积为 cm3.
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