Question

11．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．

Answer 1

分析 首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×$\frac{1}{2}$，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．

解答 解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，
∴tan∠PAC=$\frac{CP}{AP}$，
∴CP=AP•tan∠PAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，
∴BP=AP=x．
∵PC+BP=BC=30×$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+x=15，
解得x=$\frac{15（3-\sqrt{3}）}{2}$，
∴PB=x=$\frac{15（3-\sqrt{3}）}{2}$，
∴航行时间：$\frac{15（3-\sqrt{3}）}{2}$÷30=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$（小时）．
答：该渔船从B处开始航行$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$小时，离观测点A的距离最近．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．