Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=-x-1与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，0），半径为1的⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移．

（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）求⊙B平移到与Y轴相切需要的时间t；
（3）若⊙B在开始平移的同时，直线AC绕点A顺时针匀速旋转（旋转角度在0度---360 度之间）．当⊙B第一次与y轴相切时，直线AC也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？

Answer 1

解：（1）对于直线AC：y=-x-1，令x=0，y=-1；令y=0，得x=-1，
∴OA=OC，
∴点A的坐标为（-1，0），∠CAO=45°；

（2）∵点B的坐标为（4，0），即OB=4，
∴⊙B平移到与Y轴相切需要的时间t==3（秒）；

（3）如图，设直线AC与⊙B切于D点，连BD，
∴BD⊥AC，BD=1
∵⊙B第一次与y轴相切时，直线AC也恰好与⊙B第一次相切，
∴OB=1，
∴AB=2，
∴∠DAB=30°，
∴直线AC绕点A旋转了360°-30°-45°=285°，
而⊙B第一次与y轴相切时用了3秒，
∴直线AC绕点A每秒旋转的度数==95°，
即直线AC绕点A每秒旋转95度．
分析：（1）对于直线AC：y=-x-1，令x=0，y=-1；令y=0，得x=-1，即可得到点A的坐标为（-1，0），∠CAO=45°；
（2）OB=4，⊙B的半径为1，移动的速度为每秒1个单位长度，即可得到⊙B平移到与Y轴相切需要的时间t==3（秒）；
（3）设直线AC与⊙B相切于D点，连BD，根据直线与圆相切的性质得到BD⊥AC，BD=1，OB=1，则AB=2，再根据含30°的直角三角形三边的关系得∠DAB=30°，即有直线AC绕点A旋转了360°-30°-45°=285°，然后除以时间3秒得到直线AC绕点A每秒旋转的度数．
点评：本题考查了直线与两坐标轴交点坐标的求法．也考查了直线与圆相切的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．