Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁、A₂、A₃，…在x轴上，点B₁、B₂、B₃，…在直线l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，则△A₅B₆A₆的周长是

1. A.
   24
2. B.
   48
3. C.
   96
4. D.
   192

Answer 1

C
分析：首先求得点A与B的坐标，即可求得∠OAB的度数，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，易求得OB₁=OA=，A₁B₁=A₁A，A₂B₂=A₂A，则可得规律：OA_n=（2ⁿ-1）．根据A₅A₆=OA₆-OA₅求得△A₅B₆A₆的边长，进而求得周长．
解答：∴点A（-，0），点B（0，1），
∴OA=，OB=1，
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁A=∠A₁B₂A=∠A₂B₃A=∠OAB=30°，
∴OB₁=OA=，A₁B₂=A₁A，A₂B₃=A₂A，
∴OA₁=OB₁=，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₁=+2=3，
同理：OA₃=7，OA₄=15，OA₅=31，OA₆=63，
则A₅A₆=OA₆-OA₅=32．
则△A₅B₆A₆的周长是96，
故选C．
点评：此题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．