Question

如图，在平面直角坐标系中，直线BC的关系式为，且BA⊥x轴，垂足为A（4，0），点P为x轴上一点，以PB长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，点P的坐标是________．

Answer 1

（6，0）
分析：作出图形，根据直线的解析式求出点B的坐标，直线与x的交点D的坐标，从而得到AD与AB的长度，再根据⊙M与直线BC相切可得PB⊥BC，然后求出△ABD与△APB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AP的长度，即可得到点P的坐标．
解答：解：如图，设直线y=x+2与x轴的交点为D，
当y=0时，x+2=0，
解得x=-4，
∴点D的坐标为（-4，0），
∵BA⊥x轴，垂足为A（4，0），
∴y=×4+2=4，
点B的坐标为（4，4），
∴AD=4-（-4）=8，
AB=4，
∵⊙M与直线BC相切，
∴PB⊥BC，
∴∠ABP+∠ABD=90°，
又∵∠ABP+∠APB=90°，
∴∠ABD=∠APB，
在△ABD与△APB中，
，
∴△ABD∽△APB，
∴=，
即=，
解得AP=2，
∵OP=AO+AP=4+2=6，
∴点P的坐标为（6，0）．
故答案为：（6，0）．
点评：本题是对一次函数的综合考查，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，直线与圆相切，根据⊙M与直线BC相切找出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列式求出AP的长度是解题的关键．