Question

如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC内一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是多少？

Answer 1

分析：先作辅助线，作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于D，连接CD．根据条件可证得△ACD≌△BCD，再可证得△ACD≌△AOD，即可得AO=AC=5．

解答：解：如图，作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于D，连接CD．
∵∠ACB=80°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=50°，（3分）
又∠OAB=10°，
∴∠CAO=40°，
∴∠CAD=∠OAD=20°，∠DAB=10°+20°=30°=∠DBA，
∴AD=BD，∠ADB=120°，（5分）
在△ACD与△BCD中，

AC=BC AD=BD CD=CD

，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠CDA=∠CDB=

360°-120°

2

=120°．（7分）
在△ACD与△AOD中，

∠CAD=∠OAD AD=AD ∠CDA=∠ODA

，
∴△ACD≌△AOD（ASA），（9分）
∴AO=AC=5．（10分）

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．