【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),顶点B在x轴的负半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,且∠ABC=90°,∠ACB=30°,线段OC的垂直平分线分别交OC,BC于点D,E.
(1)点C的坐标;
(2)点P为线段ED的延长线上的一点,连接PC,PA,设点P的横坐标为t,△ACP的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,点F为线段BC的延长线上一点,连接OF,若OF=CP,求∠OFP的度数.
【答案】(1)C(0,3);(2)S=2t;(3)60°.
【解析】
(1)根据直角三角形30度角的性质分别计算AB和AC的长,可得OC的长,写出点C的坐标;
(2)根据三角形面积公式得:S△ACP=×AC×DP=
×4×t=2t;
(3)如图3,过点O作OH⊥BC于H,证明Rt△OHF≌Rt△ODP,得∠HFO=∠DPO,再证明△FOP是等边三角形,则∠OFP=60°.
(1)∵∠ABC=90°,
∴∠CBO+∠ABO=90°,
∵∠CBO+∠ACB=90°,
∴∠ABO=∠ACB,
∴∠ACB=30°,
∴∠ABO=30°,
在Rt△AOB中,∵∠ABO=30°,
∴AB=2OA,
在Rt△ABC中,∠ACB=30°,
∴AC=2AB,
∵A(0,﹣1),
∴OA=1,
∴AB=2,AC=4,
∴OC=AC﹣OA=4﹣1=3,
∴C(0,3);
(2)∵DE所在直线为线段OC的垂直平分线,
∴PD⊥OC,
∵点P的横坐标为t,
∴PD=t,
∵AC=4,
∴S△ACP==2t,
即S=2t;
(3)如图3,过点O作OH⊥BC于H,连接OP,
在Rt△CHO中,∵∠HCO=30°,
∴OH=OC,
∵OD=OC,
∴OH=OD,
∵PE所在直线为线段CD的垂直平分线,
∴PC=PO,
∴OF=CP,
∴PO=FO,
在Rt△OHF和Rt△ODP中,
∵,
∴Rt△OHF≌Rt△ODP(HL),
∴∠HFO=∠DPO,
∴∠FEP+∠HFO=∠FOP+∠DPO,
∴∠FEP=∠FOP,
∵∠FEP=60°,
∴∠FOP=60°,
∴△FOP是等边三角形,
∴∠OFP=60°.
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【题目】在一个不透明的袋中有除颜色外其他完全相同的3个球,每次从袋中摸出一个球,记下颜色后放回搅匀再摸,在摸球试验中得到下表中部分数据:
摸球 总次数 | 40 | 80 | 120 | 160 | 200 | 240 | 280 | 320 | 360 | 400 |
摸到黄球的次数 | 14 | 23 | 38 | 52 | 67 | 86 | 97 | 111 | 120 | 136 |
摸到黄球的频率 | 35% | 32% | 33% | 35% | 35% |
(1)请将上表补充完整(结果精确到1%);
(2)制作折线统计图表示摸到黄球的频率的变化情况;
(3)估计从袋中摸出一个球是黄球的概率是多少.
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【题目】如图,已知AB∥CD.
(1)判断∠FAB与∠C的大小关系,请说明理由;
(2)若∠C=35°,AB是∠FAD的平分线.
①求∠FAD的度数;
②若∠ADB=110°,求∠BDE的度数.
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【题目】某校积极参与垃圾分类活动,以班级为单位收集可回收的垃圾,下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数表和频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).
某校七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数表
组别(kg) | 频数 |
4.0~4.5 | 2 |
4.5~5.0 | a |
5.0~5.5 | 3 |
5.5~6.0 | 1 |
(1)求a的值;
(2)已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收,该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得的金额能否达到50元.
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【题目】我们知道:同弧或等弧所对的圆周角相等.也就是,如图(1),⊙O中, 所对的圆周角∠ACB=∠ADB=∠AEB.
(1)已知:如图(2),矩形ABCD.
①若AB< BC,在边AD上求作点P,使∠BPC=90°.(保留作图痕迹,写出作法.)
②小明经研究发现,当AB、BC的大小关系发生变化时,①中点P的个数也会发生变化,请你就点P的个数,探讨AB与BC之间的数量关系.(直接写出结论)
创新
(2)小明经进一步研究发现:命题“若四边形的一组对边相等和一组对角相等,则这个四边形是平行四边形.”是一个假命题,并在平行四边形的基础上利用“同弧或等弧所对的圆周角相等.”作出了一个反例图形.请你利用下面如图(3)所给的□ABCD作出该反例图形.(不写作法,保留作图痕迹)
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【题目】如图,直线l与△ABC在边长为1个单位长度的小正方形网格中,点A,B,C都为网格线的交点.
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(点A,B,C的对称点分别为A1,B1,C1).
(2)请画出将线段AC向左平移3个单位,再向下平移5个单位得到的线段A2C2(点A,C的对应点分别为A2,C2),再以A2C2为斜边画一个等腰直角三角形A2B2C2.
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且∠MAN始终保持45°不变.
(1)求证: =
;
(2)求证:AF⊥FM;
(3)请探索:在∠MAN的旋转过程中,当∠BAM等于多少度时,∠FMN=∠BAM?写出你的探索结论,并加以证明.
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【题目】如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E,F,已知点E的坐标为(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0).
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)是该直线上的一个动点,且在第二象限内运动,试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(3)探究:当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为,并说明理由.
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