【题目】在
中，
，
，
，点
、
分别在边
、
上．如果为中点，且
，那么
的长度为__________．
【答案】5或1.4
【解析】
根据已知比例式先求出DE的长，再分两种情况：①E为BC的中点，可直接得出AE的长；②点E在靠近点A的位置，过点D作DF⊥AC于点F，证明△ADF∽△ACB，得出
，从而可得出DF的长，再分别根据勾股定理得出AF，EF的长，从而可得出结果．
解：∵在
中，根据勾股定理得，AC=
，
又D是AB的中点，∴AD=
AB=4，
∵
，
∴
，∴DE=3．
分以下两种情况：
①当点E在如图①所示的位置时，即点E为AC的中点时，DE=BC=3，
故此时AE=AC=5；
②点E在如图②所示的位置时，DE=3，过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠AFD=∠B=90°，∠A=∠A，
∴△ADF∽△ACB，
∴，即
，∴DF=2.4．
∴在Rt△ADF中，AF=
，
在Rt△DEF中，EF=
，
∴AE=AF-EF=1.4．
综上所述，AE的长为5或1.4．
故答案为：5或1.4．
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【题目】如图，
个边长为
的相邻正方形的一边均在同一直线上，点
，
，
，…
分别为边
，
，
，…，
的中点，
的面积为
，
的面积为
，…
的面积为
，则
________．（用含的式子表示）
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【题目】教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在
中，直线
分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线交于点
．
（2）如图③，在中，
，边AB的垂直平分线交AC于点D、边BC的垂直平分线交AC于点E．若
，
，则DE的长为___________．
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【题目】我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有﹣一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．
请解答上述问题．
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与
轴交于点
和点
（点在点的左侧），与
轴交于点
，对称轴是直线
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线
平行于轴，与抛物线交于
、
两点（点在点的左侧），且
，点
关于直线的对称点为
，求线段
的长；
（3）点
是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结
、
，交线段
于点
，当
时，求点的坐标．
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【题目】某地区在同一直线上依次有甲、乙、丙三座城市一列快车从甲市出发匀速行驶开往丙市，一列动车从丙市出发匀速行驶往返于乙、丙两座城市，两列火车同时出发．如图是两列火车距甲市的路程
（千米）与行驶时间
（小时）之间的函数图象，请你结合图像信息解决下列问题：
（1）直接写出：甲、乙两市相距 千米，图像中
的值为 ，
的值 ；
（2）求动车从乙地返回多长时间时与快车相遇？
（3）请直接写出快车出发多长时间两列火车（都在行驶时）相距30千米？
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【题目】在平面直角坐标系中，
为原点，点
，点
，点
，把
绕点顺时针旋转（旋转角为锐角），得
，
、
、
旋转后的对应点分别为
、
、
，
、
分别与
轴、
轴交于点
、
．
（1）求四边形
的面积；
（2）设
，
，用含
的式子表示
；
（3）设点关于原点的对称点为
，当
的值最小时，求的坐标．（直接写出结果）
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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过AC的中点E作FG∥AD，交BA的延长线于点F，交BC于点G，
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BC＝
AB，AF＝3，求BC的长．
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