【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于点和点(点在点的左侧),与轴交于点,对称轴是直线.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直线平行于轴,与抛物线交于、两点(点在点的左侧),且,点关于直线的对称点为,求线段的长;
(3)点是该抛物线上一点,且在第一象限内,联结、,交线段于点,当时,求点的坐标.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2);(3)(,)或(,).
【解析】
(1)根据抛物线与轴交于点可得出c的值,然后由对称轴是直线可得出b的值,从而可求出抛物线的解析式;
(2)令y=0得出关于x的一元二次方程,求出x,可得出点A、B的坐标,从而得到AB的长,再求出MN的长,根据抛物线的对称性求出点M的横坐标,再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标,再根据点的对称可求出OE的长;
(3)过点E作x轴的平行线EH,分别过点F,P作EH的垂线,垂足分别为G,Q,则FG∥PQ,先证明△EGF∽△EQP,可得,设点F的坐标为(a,-a+3),则EG=a,FG=-a+3-=-a+,可用含a的式子表示P点的坐标,根据P在抛物线的图象上,可得关于a的方程,把a的值代入P点坐标,可得答案.
解:(1)将点C(0,3)代入得c=3,
又抛物线的对称轴为直线x=1,
∴-=1,解得b=2,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3;
(2)如图,
令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴点A(-1,0),B(3,0),∴AB=3-(-1)=4,
∵,∴MN=×4=3,
根据二次函数的对称性,点M的横坐标为,
代入二次函数表达式得,y=,
∴点M的坐标为,
又点C的坐标为(0,3),点C与点E关于直线MN对称,
∴CE=2×(3-)=,
∴OE=OC-CE=;
(3)如图,过点E作x轴的平行线EH,分别过点F,P作EH的垂线,垂足分别为G,Q,则FG∥PQ,
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则,解得,
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
设点F的坐标为(a,-a+3),则EG=a,FG=-a+3-=-a+.
∵FG∥PQ,∴△EGF∽△EQP,
∴.
∵,∴FP:EF=1:2,∴EF:EP=2:3.
∴,
∴EQ=EG=a,PQ=FG=(-a+)=-a+,
∴xP=a,yP=-a++=-a+,即点P的坐标为(a,-a+),
又点P在抛物线y=-x2+2x+3上,
∴-a+=-a2+3a+3,化简得9a2-18a+5=0,
解得a=或a=,符合题意,
∴点P的坐标为(,)或(,).
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【题目】如图所示,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)求证:EG2=GF×AF;
(3)若,折痕AF=5cm,则矩形ABCD的周长为 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某区教育系统为了更好地宣传扫黑除恶专项斗争,印制了应知应会手册,该区教育局想了解教师对扫黑除恶专项斗争应知应会知识掌握程度,抽取了部分教师进行了测试,并将测试成绩绘制成下面两幅统计图,请根据统计图中提供的信息,回答下面问题:
(1)计算样本中,成绩为98分的教师有 人,并补全两个统计图;
(2)样本中,测试成绩的众数是 ,中位数是 ;
(3)若该区共有教师6880名,根据此次成绩估计该区大约有多少名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,点在轴正半轴上,.
(1)求直线的解析式;
(2)点是射线上一点,连接,设点的横坐标为,的面积为,求与的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围;
(3)在(2)的条件下,与轴交于点,连接,过点作的垂线,垂足为点,直线交轴于点,交线段于点,直线交轴于点,当时,求直线的解析式.
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【题目】某课外活动小组为了解本校学生上学常用的一种交通方式,随机调查了本校部分学生,根据调查结果,统计整理并制作了如下尚不完整的统计图表:请根据以上信息解答下列问题:
(1)参与本次调查的学生共有 人;
(2)统计表中,m= ,n= ;扇形统计图中,B组所对应的圆心角的度数为 ;
(3)若该校共有1500名学生,请估计全校骑自行车上学的学生人数;
(4)该小组据此次调查结果向学校建议扩建学生车棚,若平均每4平方米能停放5辆自行车,请估计在现有300平方米车棚的基础上,至少还需要扩建多少平方米才能满足学生停车需求.
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【题目】△ABC中,∠ACB=45°,D为AC上一点,AD=5,连接BD,将△ABD沿BD翻折至△EBD,点A的对应点E点恰好落在边BC上.延长BC至点F,连接DF,若CF=2,tan∠ABD=,则DF长为( )
A.B.C.5D.7
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