Question

【题目】如图，直线交于、两点，是的直径，的平分线交于点，过点作于点．

（1）求证：为的切线;

（2）若，的直径为10，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6

【解析】

（1）连接OD，由∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE=∠DAO=∠ODA，即可证明∠ODE=90°．
（2）先证明△DAE∽△CAD得到AD2=ACAE求出AE，再根据切线的性质定理DE2=EAEB解决问题．

（1）如图1，连接OD

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∵DA平分∠CAP，

∴∠DAE=∠OAD=∠ODA

∵DE⊥PB，

∴∠DEA=90°

∴∠ADE+∠DAE=90°

∴∠ADE+∠ODA=90°

∴∠ODE=90°

∴OD⊥DE，

∴DE是O的切线．

（2）如图2中，连接CD

设AE=x，则DE=6x，AD=

∵AC是直径，

∴∠ADC=90°

∵∠ADC=∠DEA=90°，∠DAC=∠DAE，

∴△DAE∽△CAD，

∴

∴AD2=ACAE，

∴x2+(6x)2=10x

x=2(或9不合题意舍弃)

∴AE=2，ED=4，

∵DE是切线，

∴DE2=EAEB，

∴16=2(2+AB)，

∴AB=6

故答案为：6