Question

【题目】已知，如图，和是等腰直角三角形，于点取的中点连接并延长交于．连接．

①直接写出：与的位置关系是________，与的数量关系是 ；

②请任意选择上述关系中的一个加以证明．

已知，，若与交于点求的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②见解析；（2）．

【解析】

(1)①根据和是等腰直角三角形，得到∠ABC=∠ACB=45°，根据，得到∠ECB=∠CED=90°，推出ED∥BC，证得∠EDN=∠MBN，从而证明△BMN≌△DEN，得到BM=EC，再证明△ABM≌△ACE，推出△MAE是等腰直角三角形，得到；

②如①的证明过程；

过点作于点得到四边形是正方形，由勾股定理求出， ，得到，由勾股定理求出，根据证得△DEF∽△BCF，求出DF的长度.

(1)①∵和是等腰直角三角形，

∴AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵，

∴∠ECB=∠CED=90°，

∴ED∥BC，

∴∠EDN=∠MBN，

∵N是BD的中点，

∴BN=DN，

∵∠BNM=∠END，

∴△BMN≌△DEN，

∴BM=DE，MN=EN，

∴BM=EC，

∵∠ECB=90°，∠ACB=45°，

∴∠ACE=∠ABC=45°，

∵AB=AC，

∴△ABM≌△ACE，

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，

∵∠BAM+∠CAM=90°，

∴∠MAE=∠CAE+∠CAM=90°，

∴△MAE是等腰直角三角形，

∵MN=NE，

∴，

故答案为：；

选给予证明：

，

点是的中点，

在和中，

，

，

；

∵△ABC和是等腰直角三角形，

，，

；

，

在和中，

，，

即；

又．

，

(说明：由可得)；

过点作于点

则四边形是正方形，

，

在等腰直角中，

，

在直角中，由勾股定理得.

由得

，

，

.