Question

【题目】某酒店试销售某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为7元，该店每天固定支出费用为200元(不含套餐成本)． 若每份售价不超过10元，每天可销售300份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少30份． 设该店每份套餐的售价为x（x≥7）元，每天的销售量为y份，每天的利润为M元．

(1)直接写出y与x的函数关系式；

(2)求出M与x的函数关系式；

(3)若该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要获取最大的利润，则每份套餐的售价应定为多少元(为了便于计算，每份套餐的售价取整数)？此时，最大利润为多少元？

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）M=；（3）当x=13时，M最大为1060

【解析】

（1）先根据x的取值范围分类讨论，再根据题意即可求出y与x的函数关系式；

（2）先根据x的取值范围分类讨论，再根据“总利润=每份的利润×份数－每天固定支出费用”即可求出M与x的函数关系式；

（3）由（2）的关系式和一次函数、二次函数最值的求法即可得出结论．

解：（1）由题意可得：若每份售价不超过10元，每天可销售y=300份

若每份售价超过10元，y=300－30（x－10）=600－30x；

综上：y=

（2）由题意可得：当时，M=300（x－7）－200=300x－2300；

当时，M=（x－7）y－200

=（x－7）（600－30x）－200

=-30x2＋810x－4400

综上：M=

（3）当时，

∵300＞0

∴M随x的增大而增大

∴此时当x=10时，M最大，最大值为300×10－2300=700；

当x＞10时，M==，其图象的开口向下，对称轴为直线x=

∵x为整数

∴当x=13或14时，M最大，最大值为1060

∵使每天的销售量较大，

∴当x=13时，y=600－30×13=210；

当x=14时，y=600－30×14=180

故当x=13时，每天的销售量较大

∵700元＜1060元

∴该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要获取最大的利润，则每份套餐的售价应定为13元，此时，最大利润为1060元．

答：该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要获取最大的利润，则每份套餐的售价应定为13元，此时，最大利润为1060元．