【题目】如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)证明:△BCD是直角三角形.
(2)求△ABC的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)△ABC的面积为75.
【解析】
(1)由勾股定理逆定理可以证明△BCD是直角三角形;(2)要求△BCD的面积,已知BD的长度,即要求AC的长度,已知CD的长度,即要求AD的长度,设AD=x,根据勾股定理列方程求解.
(1)证明:∵ CD=9,BD=12,
∴ CD2+BD2=92+122=225,
∵ BC=15,∴ BC2=225,
∴ CD2+BD2=BC2,
∴ △BCD是直角三角形,且∠BDC=90°;
(2)设AD=x,则AC=x+9,
∵ AB=AC,∴ AB=x+9,
∵ ∠BDC=90°,∴ ∠ADB=90°,
∴ AB2=AD2+BD2,
∴ ,
解得:x=,
∴AC=+9=
,
∴S△ABC=AC×BD=
×
×12=75,
∴ △ABC的面积为75.
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【题目】小丽手中有块长方形的硬纸片,其中长比宽多10cm,长方形的周长是100cm.
(1)求长方形的面积.
(2)现小丽想用这块长方形的硬纸片,沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5:4,面积为520cm2的新纸片作为他用.试判断小丽能否成功,并说明理由.
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【题目】如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是12米,梯坎坡度i=1: ,求大楼AB的高度是多少?(精确到0.1米,参考数据:
≈1.41,
≈1.73,
≈2.45)
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【题目】某中学为打造书香校园,购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书,甲型号书柜共花了15000元,乙型号书柜共花了18000元,乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元,购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的2倍.求甲、乙型号书柜各购进多少个?
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【题目】运算能力是一项重要的数学能力.兵老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题,对全班学生进行了三次运算测试(每次测验满分均为100分).小明和小军同学帮助兵老师统计了某数学小组5位同学(A,B,C,D,E,F)的三次测试成绩,小明在下面两个平面直角坐标系里描述5位同学的相关成绩.小军仔细核对所有数据后发现,图1中所有同学的成绩坐标数据完全正确,而图2中只有一个同学的成绩纵坐标数据有误.以下说法中:①A同学第一次成绩50分,第二次成绩40分,第三次成绩60分;②B同学第二次成绩比第三次成绩高;③D同学在图2中的纵坐标是有误的;④E同学每次测验成绩都在95分以上.其中合理的是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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【题目】观察下面三行数:
如图,在上面的数据中,用一个长方形圈出同一列的三个数,这列的第一个数表示为,其余各数分别用a、
表示:
(1)若这三个数分别在这三行数的第列,请用含
的式子分别表示
的值;
(2)若记为
求
这三个数的和(结果用含
的式子表示并化简).
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【题目】如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置,则点B′的坐标为( )
A.( ,﹣
)
B.(﹣ ,
)
C.(2,﹣2)
D.( ,﹣
)
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【题目】对于平面内的∠M和∠N,若存在一个常数k>0,使得∠M+k∠N=360°,则称∠N为∠M的k系补周角.如若∠M=90°,∠N=45°,则∠N为∠M的6系补周角.
(1)若∠H=120°,则∠H的4系补周角的度数为 ;
(2)在平面内AB∥CD,点E是平面内一点,连接BE,DE.
①如图1,∠D=60°,若∠B是∠E的3系补周角,求∠B的度数;
②如图2,∠ABE和∠CDE均为钝角,点F在点E的右侧,且满足∠ABF=n∠ABE,∠CDF=n∠CDE(其中n为常数且n>1),点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点,在P点运动过程中,请你确定一个点P的位置,使得∠BPD是∠F的k系补周角,并直接写出此时的k值(用含n的式子表示).
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【题目】如图一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC,
(1)求ABC的面积。
(2)如果在第二象限内有一点P(),试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积,并求出当
ABP的面积与
ABC的面积相等时a的值。
(3)在x轴上,是否存在点M,使MAB为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
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