Question

12．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，AC与B′C′相交于点H，则图中△AHC′的面积等于（　　）

• A． 12-6$\sqrt{3}$
• B． 14-6$\sqrt{3}$
• C． 18-6$\sqrt{3}$
• D． 18+6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图，首先运用勾股定理求出AC=6$\sqrt{2}$；运用旋转变换的性质证明∠B′AH=30°，此为解决问题的关键性结论；运用直角三角形的边角关系求出B′H的长度，进而求出△AB′H的面积，即可解决问题．

解答 解：如图，∵等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6，
∴由勾股定理得：AC²=6²+6²，
∴AC=6$\sqrt{2}$；由题意得：∠CAC′=15°，
∴∠B′AH=45°-15°=30°；设B′H=λ；
∵tan30°=$\frac{B′H}{AB′}$，
∴B′H=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AB′H=$\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，
∴S_△AHC′=$\frac{1}{2}×6×6-6\sqrt{3}$
=18-6$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键．