Question

11．为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？
（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．

Answer 1

分析 （1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；
（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当20≤x≤220时表示出函数关系，由函数的性质就可以求出结论．

解答 解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{80=20k+b}\\{0=220k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{5}}\\{b=88}\end{array}\right.$，
∴当20≤x≤220时，v=-$\frac{2}{5}$x+88，
当x=100时，v=-$\frac{2}{5}$×100+88=48（千米/小时）；
（2）由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{5}x+88＞40}\\{-\frac{2}{5}x+88＜60}\end{array}\right.$，
解得：70＜x＜120，
∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，
当20≤x≤220时，
y=（-$\frac{2}{5}$x+88）x=-$\frac{2}{5}$（x-110）²+4840，
∴当x=110时，y最大=4840，
∵4840＞1600，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．

点评 本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．