Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝90°，AC＝AD＝2，M、N分别为AC、CD的中点，连接BM、MN、BN．

(1)求证：BM＝MA；

(2)若∠BAD＝60°，求BN的长；

(3)当∠BAD＝　 　°时，BN＝1．(直接填空)

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)BN＝；(3)40°．

【解析】

（1）根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题；
（3）根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．

解：(1)证明：在△CAD中，

∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN＝AD，

在Rt△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM＝AC，

∵AC＝AD，

∴MN＝BM；

(2)∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝30°，

由(1)可知，BM＝AC＝AM＝MC，

∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC＝∠DAC＝30°，

∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°

∴BN2＝BM2+MN2，

由(1)可知MN＝BM＝1，

∴BN＝；

(3)∵∠BAD＝40°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝20°，

由(1)可知，BM＝AC＝AM＝MC，

∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝40°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC＝∠DAC＝20°，

∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝60°

由(1)可知MN＝BM＝1，

∴BN＝1．

故答案为：40°．