Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，CE的延长线交AB于点F，FG∥AC，交AD于点G，连接CG．求证：
（1）四边形ACGF是等腰梯形；
（2）BF=2CG．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据已知条件得出AE=CE，再根据FG∥AC，得出EF=GE，在△AEF和△CEG中，根据SAS得出△AEF≌△CEG，从而得出CG=AF，即可证出四边形ACGF是等腰梯形；
（2）过D作DM平行AC交AB于M，过E作EN平行AC交AB于N，根据E为AD中点，EN∥AC∥DM，得出

EN

DM

=

AN

AM

=

AE

AD

=

1

2

，再根据D为BC中点，DM∥AC，得出

DM

AC

=

BM

AB

=

BD

BC

=

1

2

，从而得出FB=2AF，再根据AF=CG，即可得出BF=2CG．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，E为AD中点，
∴AE=CE，
∵FG∥AC，
∴

EF

CE

=

GE

AE

，
∴EF=GE，
在△AEF和△CEG中，

AE=CE ∠AEF=∠CEG EF=EG

，
∴△AEF≌△CEG（SAS），
∴CG=AF，
∴四边形ACGF是等腰梯形；

（2）过D作DM平行AC交AB于M，过E作EN平行AC交AB于N，
∵E为AD中点，EN∥AC∥DM，
∴

EN

DM

=

AN

AM

=

AE

AD

=

1

2

，
∵D为BC中点，DM∥AC，
∴

DM

AC

=

BM

AB

=

BD

BC

=

1

2

∴

EN

AC

=

EN

DM

•

DM

AC

=

1

4

，
∴

EF

CF

=

EN

AC

=

1

4

，
∴

EF

CE

=

1

3

，
∴

GF

AC

=

EF

CE

=

1

3

，
∴

GF

DM

=

GF

AC 2

=

2

3

∴

AF

AM

=

GF

DM

=

2

3

，

AF

AB

=

AF

2AM

=

1

3

，

AF

FB

=AF（AB-AF）=

1

3-1

=

1

2

，
∴FB=2AF，
又∵AF=CG，
∴BF=2CG．

点评：此题考查了等腰梯形的判定，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、平行线的性质等知识点，关键是根据题意做出辅助线，构造相应的三角形．