Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1

（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子去表示）；

（2）若点（m﹣2，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1、y2、y3的大小关系为　 　；

（3）直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）xm；（2）y2＞y3＞y1；（3）m＜5．

【解析】

（1）函数的对称轴为：xm；

（2）函数对称轴为x＝m，函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，即可求解；

（3）分∠OPA是钝角、∠OAP是钝角两种情况，分别求解即可．

解：（1）函数的对称轴为：xm；

（2）函数对称轴为x＝m，函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，

故：y2＞y3＞y1；

（3）把点A的坐标代入y＝﹣x+b的表达式并解得：b＝3，

则点B（0，3），直线表达式为：y＝﹣x+3，

当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，

则x＝m±2，则点P（m﹣2，3），

则OP2＝（m﹣2）2+9，OA2＝9，PA2＝（m﹣5）2+9，

①当∠OPA是钝角时，

则OP2+PA2＞OA2，

即：（m﹣2）2+9+（m﹣5）2+9＞9，

解得：m为任意实数；

②当∠OAP是钝角时，

OA2+PA2＞OP2，

即9+（m﹣5）2+9＞（m﹣2）2+9

解得：m＜5．

即：m的取值范围为：m＜5．