Question

15．（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC两个内角∠ABC、∠ACB的平分线．
①若∠A=70°，求∠BDC的度数．
②∠A=α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．
（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A=α，请用含有α的代数式表示∠
BEC的度数．

Answer 1

分析 （1）①根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，再根据三角形内角和定理得到∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A=180°，利用等量代换得到2（180°-∠BDC）+∠A=180°，即有∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
②利用①直接表示即可；
（2）先根据BE、CE分别是∠CBM、∠BCN的平分线可知∠EBC=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCM，再由∠CBM、∠BCN是△ABC的两个外角得出∠CBM+∠BCN=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，故∠EBC+∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠BCN）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，根据在△EBC中∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）即可得出结论．

解答 解：（1）①∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，
∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A=180°，
∴2∠DBC+2∠BCD+∠A=180°，
∴2（180°-∠BDC）+∠A=180°，
∴∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=70°，
∴∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$×70°=90°+35°=125°．
②∠A=90°+$\frac{1}{2}$α．
（2）∵BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCM，
∵∠CBM、∠BCN是△ABC的两个外角
∴∠CBM+∠BCN=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠EBC+∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠BCN）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
在△DBC中，
∵∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）
=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A，且∠A=α，
∴∠BEC=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．