Question

【题目】如图，已知等边三角形中，点，，分别为各边中点，为直线上一动点，为等边三角形（点的位置改变时，也随之整体移动）.

（1）如图1，当点在点左侧时，请判断与有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点在上时，其它条件不变，（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点在点右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.（提示：连接、、.可证、、、均为等边三角形）.

Answer 1

【答案】（1），（2）成立证明见解析；（3）结论仍成立.

【解析】

（1）连接DE，DF，得出△DFE是等边三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，再利用SAS证明△MDF和△EDN全等，由此可得出EN=MF．
（2）（3）证法同（1）都要证明△MDF和△EDN全等，证明过程中都要作出三角形的三条中位线，然后根据三条中位线分成的小等边三角形的边和角相等来得出两三角形全等的条件，因此结论仍然成立．

解：（1）EN=MF.理由如下：连接DE,DF,

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF.

∴∠DEF=∠DFM=60°，

又△MDN为等边三角形，∴∠MDN=60°，

∠MDN+∠NDF=∠FDE+∠NDF,

∴∠MDF=∠NDE,

在△EDN和△MDF中，

∴△EDN≌△MDF（SAS）,

∴EN=MF.

（2）如图②，EN=MF仍然成立.证明如下：连接DF，NF，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN，
在△DBM和△DFN中，

∴△DBM≌△DFN，
∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，
∴NF∥BD，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BD，
∴F在直线NE上，
∵BF=EF，
∴MF=EN．
（3）如图③，MF=NE的结论仍然成立．
连接DF、DE，

由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，
在△DNE和△DMF中，

∴△DNE≌△DMF，
∴MF=NE．