阅读理解.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形.如图1.在四边形ABCD中.E.F.G.H分别是边AB.BC.CD.DA的中点.依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．(1)这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形,(2)如图2.在四边形ABCD中.点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形.E.F.G.H分别为AB.BC.CD.AD的中点.试判断� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．

分析（1）连接AC，由三角形中位线定理得出EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，得出EF∥GH，EF=GH，即可得出结论；
（2）连接AC、DB，由等边三角形的性质得出AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，证出∠AMC=∠DMB，由SAS证明△AMC≌△DMB，得出AC=DB，由三角形中位线定理得出EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$DB，得出EF∥GH，EF=GH，证出四边形EFGH是平行四边形；再得出EF=HE，即可得出结论．

解答解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；
理由如下：连接AC，如图1所示：
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：
连接AC与BD，如图2所示：
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，
∴∠AMC=∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=DM}&{\;}\\{∠AMC=∠DMB}&{\;}\\{CM=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△DMB（SAS），
∴AC=DB，
∵∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$DB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵AC=DB，
∴EF=HE，
∴四边形EFGH为菱形．

点评本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出AC=DB是解决问题（2）的关键．

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