Question

【题目】已知：如图，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE．

（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE

（2）问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一）时，四边形AEDF是正方形，理由见解析

【解析】

（1）先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE即可；
（2）由已知可证明四边形AEDF是矩形，由全等三角形的性质得出DE=DF，即可得出结论．

∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BDF=∠CED=90°
∵点D是△ABC中BC边上的中点，
∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中， ，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；
（2）解：当△ABC满足∠A=90°（答案不唯一）时，四边形AEDF是正方形；理由如下：
∵∠BDF=∠CED=90°，∠A=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形．