Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F分别是AB，CD的中点，M是BC上一动点，AM，DM分别交EF于点G，H，连接CH．
（1）试判断GH是否为定值，并证明你的结论；
（2）当点M为BC的中点时，求证：四边形GMCH是平行四边形；
（3）试探究：在（2）的条件下，当a，b满足什么数量关系时，四边形GMCH是菱形？（不必证明，直接写出结论）

Answer 1

【答案】（1）解：GH=b，是定值，
理由：∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE∥DF且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF∥BC，
∴==，
∴AG=MG，DH=MH，
∴GH=AD=b，是定值；
（2）证明：∵点M为BC的中点，
∴MC=BC=b，
∵GH=b，
∴GH=CM，
又∵GH∥CM，
∴四边形GMCH是平行四边形；
（3）解：a=b时，四边形GMCH是菱形．
【解析】所有
（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形AEFD是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出答案；
（2）利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出即可；
（3）利用当a=b时，由题意得出MC=BM=b，AM=b，则MG=b，进而利用（2）中所求得出答案．
【考点精析】关于本题考查的菱形的判定方法，需要了解任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形才能得出正确答案．