Question

12．已知，如图1，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，∠OAB、∠OBA的平分线相交于点E，分别交x轴、y轴于点D、C．
（1）求∠AEB的度数；
（2）如图2，过E作PE⊥AC交y轴于P，交x轴于Q，连CQ，求∠PCQ与∠ABO的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可求得∠AEB的度数；
（2）先连接OE，根据点E是△ABO的内心，以及C、O、Q、E四点共圆，求得∠EOQ=∠ECQ=45°，再根据∠CED=∠AEB=135°，得出∠ECQ+∠CED=180°，进而判定CQ∥BD，得出∠PCQ=∠OBD，最后得到∠PCQ=$\frac{1}{2}$∠ABO．

解答 解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵∠OAB、∠OBA的平分线相交于点E，
∴∠EBA+∠EAB=$\frac{1}{2}$∠ABO+$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠BAO）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴△ABE中，∠AEB=180°-45°=135°；

（2）如图2，连接OE，则根据点E是△ABO的内心可得，OE平分∠AOB，
∴∠EOA=45°，
∵PE⊥AC于E，∠COQ=90°，
∴C、O、Q、E四点共圆，
∴∠EOQ=∠ECQ=45°，
∵∠CED=∠AEB=135°，
∴∠ECQ+∠CED=180°，
∴CQ∥BD，
∴∠PCQ=∠OBD，
又∵∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠PCQ=$\frac{1}{2}$∠ABO．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的判定，解决问题的关键是运用四点共圆进行求解．解题时注意：三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆．