Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2；⑤∠ADC=22.5°，其中正确的是（　　）

A. ①③④ B. ③④⑤ C. ①②④ D. ①②⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；

②根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；

③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定说法是否正确；

④据①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．

⑤可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．

详解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠EAF=45°，∴△AEF≌△AED；

故①正确；

②∵根据旋转的性质，∴△ADC≌△ABF，∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；

故此选项正确；

③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，故③错误；

④∵AB=AC，△ADC旋转90°至△AFB，∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，根据旋转的性质可得△ADC≌△ABF，∠ABF=∠ACD=45°，∴∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2．

∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD．

又∵EF=DE，∴BE2+CD2=DE2，故④正确．

⑤∵可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．

故正确的有：①②④．

故选C．