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【题目】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 是一次函数 y 3x 20 y x 12的交点,过点 A 分别作 x y 轴的垂线段,垂足分别是 B C ,动点 P Q 1个单位/秒的速度,分别从点C B 出发,沿线段CA BO 方向,向终点 A O 运动,设运动时间为t.

1)证明:无论运动时间t 0 t 8取何值,四边形OPAQ 始终为平行四边形;

2)当四边形OPAQ 为菱形时,请求出此时 PQ 的长度及直线 PQ 的函数解析式;

3)当OP 满足 2 OP 5时,连接 PQ ,直线 PQ y 轴交于点 M ,取线段 AC 的中点 N ,试确定 MNP 的面积 S 与运动的时间t 之间的函数关系式,并求出 S 的取值范围.

【答案】1)证明见解析;(2y=2x+10;(3S=t2t3),2S3

【解析】

1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可;

2)过PPHx轴于H,则CP=OHPH=CO.解方程组求出A的坐标,由菱形的性质以及勾股定理求得t的值,进而得到OQOHHQ的长.利用勾股定理即可求出PQ的长,利用待定系数法可得到直线PQ的解析式.

3)分别计算出当OP=OP=5时,对应的t的值,即可得出t的取值范围.

再利用相似三角形的判定与性质表示出MC,然后利用三角形面积公式即可得出结论.

1)∵0 t 8,∴CP=QB=t

CA=OB,∴PA=OQ

PAOQ,∴四边形OPAQ为平行四边形.

2)过PPHx轴于H,则CP=OHPH=CO

解方程组得:,∴A84),∴CO=BA=4OB=CA=8

∵四边形OPAQ 为菱形,∴OP=PA=OQ=8-t.在RtCPO中,∵OC2+CP2=OP2,∴,解得:t=3,∴OQ=8-t=5OH=CP=3,∴HQ=OQ-OH=5-3=2

PH=CO=4,∴PQ===

CP=3OQ=5,∴P34),Q50).设直线PQ的解析式为y=kx+b,∴,解得:,∴.设直线PQ的解析式为y=2x+10

3)当OP=时,CP==2,∴t=2

OP=5时,CP==3,∴t=3;∴2t3

CPOQ,∴△MCP∽△MOQ,∴,∴,解得:MC=

CA=8,∴CN=4,∴PN=4t,∴△MNP的面积S=PNCM==t,∴S=t2t3),∴2S3

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