Question

在Rt△BAC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=

1

4

，点D在BC  上，AC=AD=4，将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转到△EFC的位置，若点E落在AD的延长线上，连接BF交AD延长线于点G，那么BG=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：根据旋转的性质可得AC=CE，BC=CF，∠ACE=∠BCF，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CAD=∠CBF，从而得到△ACD和△BGD相似，根据相似三角形对应边成比例求出BD=BG，过点A作AH⊥CD于H，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CH，再解直角三角形求出CH，BC，然后根据BD=BC-CD代入数据进行计算即可得解．

解答：解：∵△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转得到△EFC，
∴AC=CE，BC=CF，∠ACE=∠BCF（为旋转角），
∵∠CAD=

1

2

（180°-∠ACE），∠CBF=

1

2

（180°-∠BCF），
∴∠CAD=∠CBF，
又∵∠ADC=∠BDG，
∴△ACD∽△BGD，
∴

AC

AD

=

BG

BD

，
∵AC=AD，
∴BG=BD，
过点A作AH⊥CD于H，则CD=2CH，
∵cos∠ACB=

1

4

，AC=4，
∴

CH

AC

=

AC

BC

=

1

4

，
即

CH

4

=

4

BC

=

1

4

，
解得CH=1，BC=16，
∴CD=2×1=2，
BD=BC-CD=16-2=14，
∴BG=14．
故答案为：14．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，解直角三角形，求出BG=BD是解题的关键，也是本题的难点．