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【题目】1)(问题情境)

课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,若AB10AC8,求AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DEAD,连接BE.请根据小明的方法思考:

Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是________

ASSS BSAS CAAS DASA

Ⅱ.三角形的三边关系可求得AD的取值范围是________

解后反思:题目中出现中点中线等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.

2)(学会运用)

如图AD ABC的中线,点EBC的延长线上,CE=AB, BAC=BCA, 求证:AE=2AD.

【答案】1)Ⅰ.B;Ⅱ. 1AD9;(2)证明见解析.

【解析】

1)Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答;

.根据三角形的三边关系定理可得ABBEAEABBE,结合BE=AC可确定AE的取值范围,易得AD的取值范围;

2)首先延长ADM,使DMAD,先证明△ABD≌△MCD,进而得出MCAB,∠B=∠MCD,即可得出∠ACM=∠ACE,再证明△ACM≌△ACE,即可证明结论.

解:(1)Ⅰ.在△ADC和△EDB中,

∴△ADC≌△EDBSAS),

故选:B

.∵△ADC≌△EDB

BE=AC

ABBEAEABBE

AB ACAEABAC,即2AE18

1AD9

故答案为:1AD9

2)延长ADM,使DMAD

AD是△ABC的中线,

BDCD

在△ABD和△MCD中,

∴△ABD≌△MCDSAS),

MCAB,∠B=∠MCD

ABCE

CMCE

∵∠BAC=∠BCA

∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD,即∠ACE=∠ACM

在△ACE和△ACM中,

∴△ACM≌△ACESAS),

AEAM

AM2AD

AE2AD

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